"Las matemáticas son el lenguaje con el que el universo nos habla." -
Paul Dirac
Si eres uno de aquellos que han luchado por comprender el enigma de las matemáticas, es posible que te resulte un desafío aceptar la siguiente afirmación...
Desde tiempos inmemoriales, las matemáticas han estado presentes, trascendiendo las barreras del tiempo. Incluso el antiguo hueso de Ishango, descubierto hace más de 20,000 años, ha despertado debates acerca de si representa el conocimiento ancestral de los números primos y la multiplicación.
A pesar de que las matemáticas continúan siendo un enigma para muchos de nosotros, hay quienes las ven como una poderosa herramienta para descifrar y analizar el mundo que nos rodea. En este artículo, nos adentraremos en el fascinante concepto de los números perfectos y exploraremos su utilidad. ¡Prepárate para un viaje a través del asombroso universo de las matemáticas!
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La historia de los números perfectos
¡Hablemos de números perfectos, esos pequeños y curiosos seres matemáticos! Resulta que están íntimamente relacionados con los números primos de Mersenne. ¿Sabías que hay una regla especial que dice que si un número de Mersenne, que se obtiene al restarle 1 a 2 elevado a una potencia, resulta ser primo, entonces su multiplicación por el doble de esa misma potencia es un número perfecto? ¡Sí, así de peculiar!
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La historia continúa con personajes famosos como René Descartes y Leonhard Euler. Resulta que Descartes afirmó en una carta a Mersenne que cualquier número perfecto par sigue las reglas establecidas por Euclides, pero no presentó una demostración sólida. Pero no te preocupes, Euler vino al rescate y fue el primero en dar una demostración que respaldaba la observación de Descartes. ¡Un equipo dinámico de genios matemáticos!
Desde la antigüedad, ya se conocían los primeros cuatro números perfectos gracias a los trabajos de Nicómaco de Gerasa y Teón de Esmirna. ¡Y la lista siguió creciendo! Un códice latino de 1456 menciona el quinto número perfecto, mientras que el sexto y séptimo fueron descubiertos en el siglo XVI por Cataldi, y el octavo en 1772 por Euler.
La emoción no se detiene ahí. A principios de la década de los 50 ya conocíamos 12 números perfectos, pero luego la búsqueda se aceleró con técnicas cada vez más sofisticadas y el uso de ordenadores en los años 90, gracias al Gran Búsqueda de Números Primos de Mersenne en Internet (GIMPS, por sus siglas en inglés). ¡La aventura por encontrar más números perfectos estaba en pleno apogeo!
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¿Qué es un número perfecto?
Un número perfecto es un tipo especial de número en la teoría de números. Un número se considera perfecto si la suma de todos sus divisores propios (excluyendo el propio número) es igual al número original.
Para entender esto mejor, primero necesitamos comprender qué son los divisores. Los divisores de un número son los números enteros que pueden dividirlo sin dejar residuo. Por ejemplo, los divisores del número 6 son 1, 2 y 3, ya que 1, 2 y 3 pueden dividir a 6 sin dejar residuo.
Volviendo a los números perfectos, si sumamos todos los divisores propios de un número perfecto, obtendremos el propio número. Por ejemplo, el número 6 es perfecto porque la suma de sus divisores propios (1, 2, 3) es igual a 6.
Algunos otros ejemplos de números perfectos son 28, cuyos divisores propios (1, 2, 4, 7, 14) suman 28, y 496, cuyos divisores propios (1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248) suman 496.
Los números perfectos tienen una larga historia de estudio en las matemáticas y han fascinado a los matemáticos durante siglos. Se ha demostrado que los números perfectos están estrechamente relacionados con los números primos, específicamente con los números primos de la forma 2^(p-1) * (2^p - 1), donde p es un número primo. Estos números se conocen como números primos de Mersenne.
Hasta la fecha, se han descubierto varios números perfectos, pero su ocurrencia es bastante rara. De hecho, a medida que los números aumentan en tamaño, los ejemplos de números perfectos conocidos son cada vez más escasos. Actualmente, los números perfectos más grandes conocidos tienen millones de dígitos.
¿Qué características tienen los números perfectos?
Un número perfecto es aquel que es igual a la suma de sus divisores exceptuando él mismo. Estos divisores se denominan factores o divisores propios.
Para entenderlo mejor, recuerda que, los divisores de un número natural son otros números naturales que lo pueden dividir y el resultado del cociente es otro número natural y el resto es 0; es decir, la división es exacta. Ahora bien, cada número tiene una cantidad determinada de divisores, por ejemplo:
# El número 12 se puede dividir (entiéndase «se puede dividir» como que la división es exacta) entre:
- 12:1=12
- 12:2=6
- 12:3=4
- 12:4=3
- 12:6=2
- 12:12=1
Entonces, los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
# ¿Que más necesitábamos para saber si es un número perfecto? La suma de sus divisores (exceptuando él mismo) sea igual al número. Por lo tanto, cogemos los divisores y los sumamos: 1+2+3+4+6=16
# ¿Es la suma igual al número? 16 ≠ 12 No, por eso el número 12, no es un número perfecto.
Ahora vamos a intentar con otro número, el número. Vamos a seguir con el mismo mecanismo que hicimos recién para ver que pasa.
# El número 6 se divide entre:
- 6:1=6
- 6:2=3
- 6:3=2
- 6:6=1
# Los divisores de 6 son 1, 2, 3 y 6. Vamos a sumarlos (excepto el propio número): 1+2+3=6
# ¿Es 6 un número perfecto? 6=6 ¡Sí!
¿Para qué sirven los números perfectos?
Si los números primos son reconocidos como la base misma de la aritmética por muchos matemáticos, los números perfectos no tienen una utilidad particular, en el sentido de que no se utilizan para resolver una ecuación, una factorización y no entran en el campo de la criptografía.
Antiguamente, eran considerados superiores a todos los demás y algunos vieron un papel místico en ellos: «El seis es un número perfecto en sí mismo, no porque Dios creó todas las cosas en seis días, sino que Dios creó todas las cosas en seis días porque ese número es perfecto» - San Agustín en La ciudad de Dios (420 d.C.)
Son uno de los misterios de las matemáticas, y la búsqueda de nuevos números perfectos sigue fascinando a muchos matemáticos en la actualidad.
Las conjeturas en relación a los números perfectos son numerosas. Una conjetura es una regla que nunca ha sido probada. Aquí tienes tres:
- Los números perfectos de Euclides son todos pares ya que uno de los factores es una potencia de 2. Pero nada prueba, por el momento, que no haya números perfectos impares;
- Todos los números perfectos conocidos terminan en 6 o 28, pero de nuevo eso puede no ser siempre así;
- Tampoco se ha demostrado que realmente haya infinitos números perfectos.
Echa un ojo también a nuestro artículo sobre el número i.
¿Cuáles son los números perfectos?
Los números perfectos y sus complejidades
La gran mayoría de los matemáticos acuerdan en que hay una infinidad de números perfectos, pero la realidad es que nunca se ha podido demostrar. De hecho, hoy en día solo conocemos 50, sin siquiera estar seguros de que no haya números intermedios perfectos sin descubrir desde el 47.
El último número perfecto se descubrió en enero de 2018. El descubrimiento de un nuevo número primo muy grande implica el descubrimiento de un nuevo número perfecto y eso es lo que sucedió con el número 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.
Hay solo tres números perfectos inferiores a 1000: 6, 28 y 496. Aparentemente, los números perfectos pares terminan en 6 u 8, aunque esto nunca se ha demostrado, pero no de forma alternativa sistemáticamente.
Los números perfectos pares de la fórmula 2n-1 (2n - 1) son números triangulares (e incluso hexagonales). Por otro lado, todos los números perfectos pares, excepto el primero, son la suma de 2(n-1)/2 primeros cubos impares. Por ejemplo:
- 28 = 13+ 33,
- 496 = 13+ 33 + 53 + 73,
- 8128 = 13+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.
Por cierto, ¿ya lo sabes todo sobre el número Pi?
Los primeros ocho números perfectos
Los primeros ocho números perfectos son:
- 6
- 28
- 496
- 8128
- 33,550,336
- 8,589,869,056
- 137,438,691,328
- 2,305,843,008,139,952,128
Para conocer los siguientes 40, puedes escribir en Google «lista números perfectos».
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Números impares perfectos
Hasta el día de hoy, no se sabe si hay números perfectos impares. Todos los ejemplos son números pares, pero eso no quiere decir que no existan números perfectos impares.
Aunque las investigaciones avanzan, ninguna ha podido afirmar o refutar esta hipótesis. Carl Pomerance ha publicado un método heurístico que sugiere la inexistencia de un número perfecto impar.
¿Conoces el número áureo?
Números triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos
Los números triperfectos
Los números triperfectos son un tipo especial de números enteros que están relacionados con la teoría de números y la divisibilidad. Un número triperfecto es aquel que satisface la siguiente propiedad: la suma de todos sus divisores propios (excluyendo el propio número) es igual al triple del número en sí.
En otras palabras, si tomamos un número triperfecto, y sumamos todos sus divisores propios, el resultado será tres veces el número original. Por ejemplo, el número 120 es triperfecto porque sus divisores propios (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40 y 60) suman 360, que es tres veces 120.
Los números triperfectos son bastante raros y no se conocen muchos ejemplos. De hecho, hasta ahora solo se han descubierto cinco números triperfectos: 1, 2, 4, 120 y 672. Además, se ha demostrado que si existen otros números triperfectos, deben ser extremadamente grandes.
Los números multiperfectos
Aunque los números multiperfectos tienen una presencia más amplia que los triperfectos, aún se están realizando investigaciones para comprender mejor sus propiedades y características.
Los números multiperfectos son un concepto relacionado con la teoría de números y la divisibilidad. Un número multiperfecto es aquel que cumple la siguiente propiedad: la suma de todos sus divisores propios (excluyendo el propio número) es mayor que el número original.
Es decir que, si tomamos un número multiperfecto y sumamos todos sus divisores propios, obtendremos un resultado mayor que el número original. Por ejemplo, el número 12 es multiperfecto porque la suma de sus divisores propios (1, 2, 3, 4 y 6) es 16, que es mayor que 12.
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Los números hiperperfectos
Un número se considera hiperperfecto si la suma de todos sus divisores (incluyendo el propio número) es igual al doble del número en sí.
Si tomamos un número hiperperfecto y sumamos todos sus divisores, obtendremos un resultado que es el doble del número original. Por ejemplo, el número 28 es hiperperfecto, ya que la suma de sus divisores (1, 2, 4, 7, 14, 28) es igual a 56, que es el doble de 28.
Los números hiperperfectos son menos comunes que los números perfectos (donde la suma de los divisores es igual al número original) y los números multiperfectos (donde la suma de los divisores es mayor que el número original). De hecho, hasta ahora solo se han encontrado algunos ejemplos de números hiperperfectos, como 6, 28, 496 y 8128.
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