La proporción áurea, llamada número de oro, número de dios, razón dorada y hasta divina proporción es un número irracional que desborda los cálculos matemáticos e influencia nuestra forma de ver y analizar el mundo.
Representada por la letra griega φ (phi), es aproximadamente igual a 1,618. El número áureo es un concepto matemático presente en la naturaleza, el arte y la arquitectura. Hoy nos interesa explorar su conexión con la sucesión de Fibonacci, serie numérica que conoceremos en profundidad.
En este artículo descubriremos los secretos detrás de la proporción áurea, su historia y su presencia constante en la realidad y la belleza. ¿Te interesa tomar clases particulares de matemáticas?
La secuencia de Fibonacci
La secuencia de Fibonacci es una serie de números en el que cada número después del segundo es la suma de los dos anteriores.
0,1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… y así sucesivamente. Este patrón aritmético recursivo puede continuar hasta el infinito mismo.
Aunque podemos rastrearla a textos sánscritos de la antigüedad, la secuencia lleva el nombre del matemático italiano Fibonacci, quien la introdujo en Europa durante la Edad Media.
La secuencia sigue la regla de recurrencia, en la que cada término se puede adivinar conociendo los anteriores, y se expresa como la siguiente fórmula:
F(n)=F (n−1)+F (n−2).
Donde F(n) es el término en la posición n, F (n−1) es el término en la posición anterior, y F(n−2) es el término dos posiciones antes.
Existe una relación intrínseca entre la secuencia de Fibonacci, la espiral de Fibonacci y la proporción áurea. Podés aprender más sobre esa conexión en el siguiente video:
La proporción áurea en números
La proporción áurea es una constante matemática que fascinó (y fascina) a científicos, artistas, filósofos y matemáticos a lo largo de la historia. Se representa con la letra griega φ (phi) y su valor es aproximadamente 1,61803398875. Se trata de un número irracional, por lo que no puede expresarse con dos números enteros y tiende al infinito: podríamos seguir agregándole cifras eternamente, por ello se dice que es "aproximadamente" 1,61803.
Matemáticamente, la proporción áurea se define como la relación entre dos segmentos de una línea, de manera que la relación entre el segmento más largo (a) y el segmento más corto (b) es la misma que la relación entre la suma de ambos segmentos (a + b) y el segmento más largo (a). Esto se expresa con la siguiente ecuación:
(a + b)/a = a/b = φ
En otras palabras, el número áureo no es más que una simple proporción geométrica, pero con aplicaciones muy interesantes.
Historia de la proporción áurea
El número áureo aparece una y otra vez en la historia en diversas culturas y épocas. Aun así, es difícil determinar cuándo surgió por primera vez. Algunos investigadores creen que fue descubierto en estelas de Babilonia y Asiria alrededor del 2.000 a.C. Sin embargo, hay poca documentación histórica que lo avale.
En la Grecia antigua, el matemático Euclides (c. 300 a.C.-265 a.C.) fue el primero en realizar un estudio formal del número áureo. Durante la antigüedad, los griegos utilizaron la proporción áurea como parámetro estético y armónico para sus obras arquitectónicas y artísticas. El más famoso es tal vez el escultor Fidias, artífice de la acrópolis de Atenas y de la perdida estatua de Atenea Pártenos en el Partenón. Aprende más con clases online de matemáticas.
Siglos después, reaparece con fuerza junto a los líderes del Renacimiento. El matemático italiano Luca Pacioli popularizó la proporción a través de su obra De divina proportione o La divina proporción (1509), que contaba con ilustraciones del gigante Leonardo da Vinci. Pacioli asociaba el número áureo con lo divino y lo comparaba con la Trinidad cristiana.
En 1525, Alberto Durero escribió cómo realizar la "espiral de Durero" o espiral Fibonacci en su obra Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas.
Habrían de pasar 300 años para que ese número obtuviera un nombre: el matemático alemán Martin Ohm se refirió a él por primera vez como "proporción áurea" en 1835. Y en 1900, Mark Barr lo denominó Φ o φ (phi) en honor a Fidias.
Relación entre la proporción áurea con la sucesión de Fibonacci
Ambos conceptos matemáticos están más relacionados de lo que aparenta a simple vista.
Como mencionamos anteriormente, la secuencia de Fibonacci es una serie numérica donde cada número es la suma de los dos anteriores (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, etc.). A medida que avanzamos en la secuencia, la relación entre dos números consecutivos se aproxima cada vez más a φ, o al número áureo.
Se cumple así la regla: F(n) / F(n-1) = φ
En el mundo real, podemos encontrar a Fibonacci y la proporción áurea en patrones de crecimiento de plantas, en los caparazones de caracoles marinos y hasta en la formación de galaxias. Y al combinar ambos conceptos obtenemos rectángulos dorados y espirales doradas, que aparecen en la construcción de edificios icónicos como la catedral de Notre Dame en París o en la posición de las semillas en un girasol.
Ahora nos metamos de lleno en ejemplos claros que demuestran cómo la divina proporción y la secuencia de Fibonacci están presentes en nuestro día a día.
La proporción aurea: del cálculo a la realidad
Desde hace eones, la proporción áurea es un parámetro para lo que se considera estéticamente agradable: artistas, arquitectos y diseñadores utilizan el número áureo para sus obras. La divina proporción aparece en las Pirámides de Guiza, el Partenón en Atenas, La última cena de Leonardo da Vinci y hasta en las tarjetas de crédito.
En la naturaleza, se puede observar en las espirales de las conchas de caracol, en las proporciones del cuerpo humano y en la disposición de las hojas en algunas plantas. Veamos más ejemplos de la presencia de la razón áurea y de Fibonacci en la naturaleza.
En la naturaleza y la biología
En la naturaleza, la proporción áurea y los números de Fibonacci están presentes en varios elementos:
- Cálculos de Fibonacci: Leonardo de Pisa o Fibonacci utilizó su famosa sucesión para resolver problemas matemáticos, por ejemplo para calcular los patrones de reproducción de los conejos.
- Distribución de pétalos y hojas: La Ley de Ludwig se aplica en la botánica y describe cómo la razón áurea está relacionada con la disposición de pétalos en flores y la distribución de hojas en un tallo, siguiendo la sucesión de Fibonacci.
- Anatomía humana: ¿Sabías que la distancia entre el ombligo y la planta del pie, dividido por la altura total de una persona da como resultado el número áureo?
- Cantidad de espirales en objetos orgánicos: En piñas, girasoles y otras estructuras orgánicas, la cantidad de espirales sigue números de Fibonacci, y el cociente de estos números tiende al número áureo.
- Espirales en organismos vivos: Además, la estructura de las espirales en caracoles o cefalópodos exhibe proporciones áureas. Un ejemplo característico es el nautilos.
- Hélice ascendente en plantas: Para maximizar la exposición solar, las hojas de algunas plantas crecen en hélice ascendente, siguiendo un ángulo constante relacionado con la proporción áurea.
- Influencia en la filotaxis y ramificación de plantas: La disposición de hojas en una planta (filotaxis) y la ramificación alrededor del tronco siguen como patrón el número áureo.
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