"Los números imaginarios son una maravillosa invención del hombre, son una forma de imaginar o representar las cosas en la mente, y nos permiten manipular conceptos matemáticos de una manera más sencilla." Carl Friedrich Gauss.
Es probable que hayas escuchado hablar de ellos en alguna clase de álgebra o cálculo, pero ¿realmente sabes de qué se trata? Los números imaginarios son una herramienta poderosa en matemáticas que ha permitido resolver problemas que antes parecían imposibles de abordar.
A diferencia de los números reales que conocemos desde la escuela primaria, los números imaginarios no representan una magnitud física como la longitud, el peso o el tiempo. En cambio, se definen como un múltiplo de la unidad imaginaria i, que es la raíz cuadrada de -1.
Puede sonar un poco confuso al principio, pero la verdad es que los números imaginarios tienen una gran cantidad de aplicaciones prácticas. Desde la ingeniería y la física hasta la informática y la criptografía, estos números han demostrado ser una herramienta valiosa para resolver problemas en diferentes campos de estudio.
En este artículo, vamos a explorar en profundidad qué son los números imaginarios y cómo se utilizan en matemáticas. Así que si quieres ampliar tus conocimientos sobre matemáticas y descubrir un mundo fascinante, ¡sigue leyendo!
Descubre con nosotros los números más famosos de las Matemáticas como por ejemplo los números primos.
El álgebra, una parte importante de las Matemáticas
¡En el fascinante mundo de las matemáticas, los números son la piedra angular! Pero, ¿sabías que hay números que son más complejos que otros y que se utilizan de diferentes maneras en el álgebra? ¡Descubramos juntos las disciplinas matemáticas que involucran los números complejos y, en particular, los números imaginarios!
En el álgebra, podemos encontrar una gran cantidad de disciplinas, cada una con su nivel de complejidad, como el álgebra no conmutativa, la nueva álgebra, la aritmética, la geometría algebraica, el álgebra lineal y muchas otras. En este vasto campo, los números imaginarios juegan un papel fundamental.
Pero, ¿qué son exactamente los números imaginarios? En su forma algebraica, los números complejos se presentan como a + ib, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. Los números complejos incluyen tanto números reales como números imaginarios y forman parte de conjuntos numéricos como N, Z, D, Q, R y C.
Ahora bien, ¿Por qué son importantes los números imaginarios? ¡Porque nos permiten resolver problemas que no podríamos solucionar de otra manera! Así que, si quieres conocer más sobre este fascinante tema y descubrir cómo se utilizan los números imaginarios en matemáticas, ¡sigue leyendo!
¿Quieres saber más sobre el número e?
El número i: propiedades y definición
¿Cómo se definió el número i en matemáticas?
Resulta que este número complejo es algo que requiere de facultades de abstracción para comprenderlo, pero no te preocupes, te lo voy a explicar de una manera más entretenida.
En matemáticas, algunas ecuaciones de segundo grado no tienen una solución real porque no hay un número real cuyo cuadrado sea negativo. Esto significa que no podemos multiplicar un valor por sí mismo sin producir un resultado positivo. Por ejemplo, 2² es 4, al igual que (-2)².
Para entender esta propiedad matemática, tenemos que remontarnos a las clases de matemáticas de primaria, donde aprendimos la regla de los signos: sumar, restar, dividir o multiplicar más por más da más, menos por más y más por menos da menos, y menos por menos da más.
Si el teorema matemático dice que el producto de dos números negativos es positivo, entonces deducimos que el cuadrado de cualquier número, incluso negativo, es positivo.
En el año 4, entre las figuras geométricas, el teorema de Pitágoras y Tales, se definen las raíces cuadradas de la siguiente manera: la raíz cuadrada de x es el número que, elevado al cuadrado, es igual a x. Si n = entonces n² = x. Entonces = 3.
Por cierto, ¿ya lo sabes todo sobre el número Pi?
¿Pero qué tiene que ver todo esto con el número i?
Bueno, a lo largo de los muchos siglos de la historia de las matemáticas, la búsqueda de las raíces cuadradas para los números negativos ha llevado a la invención de los números complejos como i.
El conjunto de números complejos se considera una extensión del conjunto de números reales que contienen un número imaginario de i exponente (a;b) tal que i = raíz cuadrada de -1 e i² = -1, con el cuadrado de (-i) también igual a -1.
El principio es que cualquier número puede ser escrito bajo la forma a + ib donde a y b son números reales, negativos o positivos. La raíz cuadrada de -4 es por lo tanto igual a 2i.
Cualquier número de la fórmula bi, donde b es diferente de 0, es un número imaginario puro. Es por eso que los números como "raíz cuadrada de -4 = 2i", "raíz cuadrada de -16 = 4i", etc. son números imaginarios.
Si la raíz cuadrada de -1 no existe, no podemos estimar decimales exactos o aproximados como lo hacemos para las raíces de números positivos, como por ejemplo la raíz cuadrada de 5 que es igual a 2,236.
Entonces, en resumen, el número i es un concepto que permite concebir una familia entera de raíces cuadradas de números negativos.
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¿Por qué usar los números imaginarios puros?
Los números complejos tienen numerosos usos y aplicaciones. Aunque, cuando se hacen ejercicios de matemáticas para estudiar para exámenes, puede no parecer que tengan mucha utilidad en el cálculo de números imaginarios. Sin embargo, los números complejos fueron creados para resolver ecuaciones que no tienen solución real.
En matemáticas, es un error considerar que una ecuación no tiene solución, ya que depende del conjunto de números considerados. Por ejemplo, la ecuación x + 8 = 1 no tiene solución en el conjunto de números naturales (donde x es igual a -7), pero sí en el conjunto de números relativos. Otro ejemplo es la ecuación x² = 2, que no tiene solución en el conjunto de números racionales, pero sí en el conjunto de números irracionales (donde x es igual a la raíz cuadrada de 2).
Gracias al número imaginario i, ha sido posible resolver absolutamente todas las ecuaciones, ya sean de números enteros, irracionales o decimales. El uso del número imaginario también ha permitido avanzar en la investigación física y en la electricidad, ya que el número i permitió el estudio de los circuitos impresos de los ordenadores y, por lo tanto, es la base de la revolución informática del siglo XX.
Los ingenieros también utilizan los números complejos cuando tienen que calcular formas de onda en acústica o electrónica, o de flujo en aerodinámica e hidrodinámica. Además, se utilizan en el uso de radares, imágenes o sonares. Es con la ayuda de los números complejos que los ingenieros pueden describir el comportamiento de los circuitos electrónicos. La transición a los números puros complejos e imaginarios permite la resolución de problemas sin solución sin este número i, para algunas integrales, por ejemplo.
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¿Y el número PI?
El valor de Pi es una constante matemática que representa la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Su valor numérico es aproximadamente 3.14159 y se denota por la letra griega π.
Arquímedes de Siracusa fue el primero en aproximarse al valor de pi. En el siglo III a.C., Arquímedes usó polígonos regulares para encontrar dos valores límite para pi: 3 1/7 y 3 10/71. Sin embargo, fue el matemático Leonhard Euler en el siglo XVIII quien popularizó el uso de la letra griega "π" para representar esta constante matemática en su obra "Introducción al Cálculo Infinitesimal".
Cómo repasar los números imaginarios puros
Es cierto que los recursos en línea son una excelente manera de descubrir los números complejos y comprenderlos, especialmente porque ofrecen muchas soluciones para repasar los conceptos, desde profesores particulares hasta sitios de formación especializada en Matemáticas. Además, en línea también puedes encontrar recursos sobre otros conceptos matemáticos importantes, como el número áureo, que es una constante matemática fascinante con aplicaciones en la naturaleza, el arte y la arquitectura.
Sin embargo, los recursos en papel también son una gran ayuda para estudiar Matemáticas. Nada mejor que un libro con ejercicios de números complejos o presentaciones con fórmulas matemáticas adaptadas. Después de todo, los exámenes se hacen en papel, no con un ordenador, así que mejor acostumbrarse.
Aquí tienes algunos ejemplos de libros de referencia para estudiar las matemáticas:
- Una introducción a los números complejos, de Francisco Rivero Mendoza
- Números complejos y sus aplicaciones a la geometría, de I.M. Yaglom
- Números complejos: Álgebra, de Christiam Manuel Huertas Ramírez
- Números reales y números complejos, de Roberto Benavent De La Cámara
- Trigonometría y números complejos, de José Colera Jiménez et al.
- La divina proporción, de Luca Pacioli
Estas obras generales están dirigidas tanto a estudiantes como a principiantes en Matemáticas. Ofrecen una introducción general a los números complejos, así como estudios de caso concretos y aplicaciones en el arte, la arquitectura y la naturaleza.
En definitiva, descubrir los números complejos no es difícil: gracias a los muchos recursos en el campo de las Matemáticas, seguro que encuentras el mejor para ti según tu nivel y tus objetivos. Todo lo que tienes que hacer es ponerte en contacto con las personas adecuadas: no dudes en pedir a tu profesor de secundaria que te dé clases de recuperación por la noche o que te recomiende recursos para mejorar tu aprendizaje.
Si necesitas ponerte al día antes de un examen o unas oposiciones, te recomendamos que varíes los recursos: ¡en papel, en línea y un profesor de Superprof!
Entonces, ¿tú qué opinas sobre los números imaginarios, los números complejos y el número áureo? ¿Cuáles son tus consejos para aprender a dominarlos?
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